Expresiones Algebraicas

Objetivos de aprendizaje

En esta unidad aprenderás a:

Utilizar letras para representar números desconocidos.
Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.
Sumar, restar y multiplicar monomios.
Resolver ecuaciones de primer grado.
Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.

1. Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y números.

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones.

Ejemplos:

x + 2 → "Un número más dos"

3x² → "Tres por x al cuadrado"

Para escribir expresiones algebraicas:

Se puede sustituir el signo × por · o suprimirlo: 3×x² → 3·x² → 3x²
No se suele escribir el factor 1 ni el exponente 1: 1x⁵ → x⁵, 8x¹ → 8x

Traducción de enunciados

Podemos expresar situaciones con números desconocidos usando expresiones algebraicas.

Ejemplos:

Si Juan tiene x años y Lola tiene el triple más 4 años:

Edad de Lola = 3x + 4

Si Pedro tiene el doble de la edad de Lola:

Edad de Pedro = 2(3x + 4)

Extraemos 3 bolas de una vasija con x bolas:

Bolas que quedan = x - 3

Valor numérico

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Ejemplo:

Si un operario cobra 15 € por desplazamiento y 20 € por hora:

15 + 20x → Importe por x horas

Para 2 horas (x=2):

15 + 20·2 = 15 + 40 = 55 €

Practica el lenguaje algebraico

Traduce a lenguaje algebraico:

1. El doble de un número más tres →

2. El cuadrado de un número menos cinco →

3. El perímetro de un triángulo equilátero de lado x →

2. Monomios

Características

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una letra.

Componentes de un monomio:

Coeficiente: El número que multiplica
Parte literal: La letra con su exponente
Grado: El exponente de la letra

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Grado
8x³	8	x³	3
-2x⁴	-2	x⁴	4
x⁷	1	x⁷	7

Suma y resta de monomios

Los monomios semejantes tienen la misma parte literal.

Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o restan los coeficientes y se mantiene la parte literal.

Ejemplos:

12x³ + 4x³ = 16x³

8x³ - 2x³ = 6x³

Si no son semejantes, la operación se deja indicada:

2x - x² + 3x = 5x - x²

Producto de monomios

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y las partes literales.

Ejemplos:

8x³ · 5x⁴ = 40x⁷

2 · 10x⁴ = 20x⁴

Área de un rectángulo de lados 3x y 2x:

3x · 2x = 6x²

Practica con monomios

1. Suma: 3x³ + 4x² + 5x² + 4x³ =

2. Resta: 5x³ - 7x² - 8x³ - 2x² =

3. Multiplica: 2x · 5x - 3x · 4x =

3. Ecuaciones

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es cierta para ciertos valores de la incógnita.

Ejemplo: x + 5 = 11 solo se cumple cuando x = 6.

Partes de una ecuación

3x + 2 = x + 4

Miembros: Separados por el = (3x+2 es el primer miembro, x+4 el segundo)
Términos: Sumandos que forman los miembros (3x, 2, x, 4)
Incógnita: Letra que aparece (x)
Solución: Valor que hace cierta la igualdad (x=1)

Ecuaciones equivalentes

Son ecuaciones con la misma solución. Se pueden obtener:

Sumando o restando el mismo número a ambos miembros
Multiplicando o dividiendo ambos miembros por el mismo número (distinto de cero)

Ejemplo:

Ecuación original: 6x - 2 = 4x + 6 (solución x=4)

Sumando 2: 6x = 4x + 8

Restando 4x: 2x - 2 = 6

Dividiendo por 2: 3x - 1 = 2x + 3

Todas tienen solución x=4

Resolución de ecuaciones

Pasos para resolver una ecuación:

Transponer términos: letras a un lado, números al otro
Reducir términos semejantes
Despejar la incógnita

Ejemplo:

7x - 2 = 5x + 4

7x - 5x = 4 + 2

2x = 6

x = 3

Resolución de problemas

Pasos para resolver problemas con ecuaciones:

Leer atentamente el enunciado
Identificar la incógnita
Plantear la ecuación
Resolver la ecuación
Comprobar la solución
Dar la respuesta

Ejemplo:

Problema: El doble de un número menos 2 es igual a 8. ¿Qué número es?

Solución:

2x - 2 = 8

2x = 8 + 2

2x = 10

x = 5

Comprobación: 2·5 - 2 = 8 ✔

Practica resolviendo ecuaciones

1. Resuelve: 2x + 4 = 10 → x =

2. Resuelve: 5x + 2 = 7x + 4 → x =

3. En una bolsa hay 54 bolas entre blancas y negras. Las blancas son 10 más que las negras. ¿Cuántas hay de cada?
Bolas negras =
Bolas blancas =

Problemas de aplicación

A continuación encontrarás problemas para resolver aplicando los conceptos aprendidos:

Problema 1: Edades

Juan tiene 12 años, Pedro 14 y Miguel 20. ¿Cuántos años hace que la suma de las edades de Juan y Pedro era igual a la edad de Miguel?

Plantea la ecuación:

Solución: Hace años

Problema 2: Reparto de caramelos

Al repartir 30 caramelos entre dos amigos, uno de ellos se queda con 8 caramelos más que el otro. ¿Cuántos caramelos tiene cada uno?

Caramelos del primer amigo:

Caramelos del segundo amigo:

Problema 3: Dimensiones de un rectángulo

Halla las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 26 cm y la altura mide 3 cm menos que la base.

Base: cm

Altura: cm

Retos matemáticos

¿Te atreves con estos desafíos?

Reto 1: Cuadrado mágico

Completa el cuadrado mágico (la suma de filas, columnas y diagonales debe ser igual):

Reto 2: La balanza

Encuentra el valor de x que equilibra la balanza:

x

+

6 kg

=

4 kg

+

4 kg

x = kg

Autoevaluación

1. Un tren circula a 78 km/h. ¿Qué expresión indica la distancia en x horas?

a) x - 78
b) 78 + x
c) 78x
d) 78x + 78

2. Olga tiene 3 canicas más que Ana y Juan tiene 2 más que Ana. Si x representa las canicas de Ana, ¿cuál es la expresión que indica las que tienen entre los tres?

3. Halla el valor numérico de 6x² + 2x + 6 para x = 1.

4. Efectúa: 4x⁵ + 3x⁵ = y 3x⁴ - 18x⁴ =

Resumen final

Lenguaje algebraico

Letras para representar números desconocidos
Expresiones como 2x + 3
Valor numérico sustituyendo las letras

Monomios

Partes: coeficiente y parte literal
Grado del monomio
Operaciones con monomios semejantes

Ecuaciones

Partes de una ecuación
Ecuaciones equivalentes
Pasos para resolver ecuaciones

Objetivos de aprendizaje

1. Lenguaje algebraico